3.1. 광흡수
광자의 에너지는 hν이다. h는 Plank 상수이고 ν는 빛의 주파수이다. 포톤 에너지와 파장 λ사이의 관계는 다음과 같이 주어진다.
hc 1.2398
λ(um) = ----- = ---------------
hν hν (eV)
여기서 c는 진공에서의 빛의 속도이다. 태양광 에너지 스펙트럼은 자외선 영역(0.3 um)에서 적외선 영역까지 펼쳐져 있다.
반도체의 밴드갭 보다 작은 포톤 에너지의 태양광이 반도체에 입사되면 그 빛은 반도체를 통과해 버린다.즉, 반도체는 빛에 투명하다. 밴드갭 보다 더 큰 포톤 에너지가 입사되면 valence band의 전자가 conduction band로 여기된다. 이것은 광자가 흡수되어 전자-홀 쌍을 생성한다는 것을 의미한다. 이 과정을 "intrinsic 전이" 또는 "band-to-band 전이"라 한다. "cut-off" 파장은 태양전지 물질을 선택하는데 매우 중요하다. 왜냐하면 cut-off 파장 보다 더 긴 파장의 빛은 태양광 에너지 변환에 쓰일 수 없기 때문이다.
포톤 광속(photon flux) F0인 광이 단위 면적당 단위 시간당 반도체 표면에 수직으로 비춰지면, 깊이 x와 x + ∆x사이에서 흡수된 포톤의 수는 다음과 같이 주어진다.
F( x + ∆x ) - F( x ) = - α F( x ) ∆x, 여기서 α는 흡수 계수다.
만약 초기 조건이 F(0) = ( 1-R ) F0, 깊이 x에서의 광자 광속은 다음과 같이 표현된다.
F( x ) = ( 1-R ) F0 e^(-αx), R을 수직 입사광의 표면 반사율이라고 가정한다. 만약 흡수계수가 크면, 포톤은 짧은 깊이에서 흡수된다. 하지만 흡수 계수가 적으면 포톤이 흡수되기 위해 긴 깊이가 필요로 하게 된다. 흡수 계수는 포톤 에너지에 의해 크게 영향을 받는다는 것을 주목 할 필요가 있다. "직접 밴드갭 반도체"의 경우 흡수 계수는 ( hν- Eg )^1/2에 비례하고 "간접 밴드갭 반도체"의 경우 ( hν- Eg )^2에 비례한다. 일반적으로 간접 갭 반도체의 흡수 계수는 직적 갭 반도체의 것 보다 훨씬 작다. 왜냐하면 광흡수 또는 포논(phonon) 방출이 포톤 흡수에 있어서 전자의 운동량의 변화를 일으키기 때문이다.
3.2. 반도체에서 재결합
광흡수에 의해 반도체 내에 생성된 과잉 전하 캐리어는 빛 소스가 커지면 소멸된다. 이 과정을 재결합이라고 한다. 벌크에서 재결합 현상은 "직접 재결합", "간접 재결합"으로 분류된다. 간접 재결합은 금지대 내의 국부 에너지 준위에 의해 발생하거나 Auger 재결합으로 발생한다.
직접 재결합은 광흡수의 역과정이다. 열적 평형 상태에서 재결합율은 n형 반도체일 경우 βn(no) p(p0)으로 표현된다. 이것은 열적 진동에 의한 생성율(단위 시간당 단위 면적당 전자 홀 쌍의 수)과 동일하다. β는 비례상수 이고 n(no)와 p(p0)는 열적 평형 상태에서 각각 n형 반도체의 전자와 홀의 농도이다. 빛 조사에 의해 과잉 캐리어가 발생할때, 재결합율은 β×n×p로 증가되는데 conduction band의 전자 수와 valence band의 홀의 수가 증가하기 때문이다. n형 반도체에서 낮은 주입 수준(low-injection level)일 경우, 순 재결합율은 다음 식으로 표현된다.
U = βnp - βn(no) p(no) = β(n(no) + ∆n) (p(no) + ∆p) - βn(no)p(n0)
≈ βn(no)∆p = ∆p / (1/βn(no))
Δp
= ------
τ(p)
∆n과 Δp는 빛 조사에 의한 과잉 전자와 홀 농도이고 순 재결합율은 과잉 소수 캐리어 농도에 비례한다. 𝝉(p) = 1/(βn(n0))는 소수 캐리어 수명이라고 한다.
간접 재결합의 경우인 밴드갭 내부에 Nt 농도의 트랩 준위가 갭 중간 근처에 위치한 반도체를 고려 해보자. n형 반도체의 경우
1
소수 캐리어 수명 τ(p) = ---------------
ν(th)σ(p) Nt
ν(th)는 홀의 평균 열속도(thermal velocity)이고 σ(p)는 홀 트랩의 포획 단면 면적이다.
Δp
순 재결합율 U = --------
τ(p)
간접 재결합에서는 소수 캐리어 수명은 다수 캐리어의 농도와는 독립적이며 트랩 농도에 반비례한다.
Auger 재결합에서, 어떤 한 전자가 재결합 과정 동안 자신이 갖고 있는 과잉 에너지를 conduction band나 valence band에 에 있는 다른 전자에 넘겨주어 그 전자를 더 높은 에너지 준위로 여기된다. 여기된 전자는 밴드 에지로 이완될 때 이 초과 에너지를 열로써 방출한다.
Auger 과정은 세 입자와 연관이 있기 때문에 그 재결합율은 전자-전자-홀 과정과 홀-홀-전자 과정일 때 각각 U = A n^2 p 와 U = A p^2 n 이다. A는 온도에 강하게 의존하는 Auger 상수이다. Auger 과정은 캐리어 농도가 높을 때 중요하며 특히 저 밴드갭 반도체에서 더 그렇다.
반도체 시료는 갑작스럽게 끊기기 때문에 주기 포텐셜 함수의 깨짐은 표면에 있는 에너지 밴드 갭 내부에 에너지 준위(energy state)를 남긴다. 이 준위를 표면 준위(surface states)라고 하고 표면 근처에서 재결합을 강화시킨다.
결정 크기가 작아지면 표면 준위는 매우 중요해 진다. 그 이유는 단위 체적당 표면에서의 캐리어 재결합 수가 증가하기 때문이다.
3.3. 연속 방정식
실제 반도체에서 drift current, diffusion current, 캐리어 생성, 그리고 캐리어 재결합을 한꺼번에 표현할 수 있는 것이 연속방정식이다. 모든 과정이 동시에 일어난다. 1차원 형태로 이 현상들을 표현하기 위해 dx 두께의 면적 A인 얇은 조각을 생각하자(그림 7.). 위치 x 에서의 전류 밀도를 J (x)라고 하면 이 체적에서 단위 시간당 전자의 순 증가는 얇은 조각으로 흐르는 순 전자와 얇은 조각에서의 생성된 순 캐리어의 합이다.
∂n(p) Jn (x) A Jn (x + dx)A
------ A dx = [ ------------- - ------------------ ] + (Gn - Rn) A dx
∂t -q -q
여기서 Gn과 Rn은 각각 전자의 생성율과 재결합율이다.
위 식의 Taylor 전개에 의해 p형 반도체에서 전자를 위한 연속방정식은 다음과 같이 바뀐다.
∂n(p) ∂Jn
------- = (1/q) ----- + (Gn - Rn)
∂t ∂x
비슷하게 n형 반도체에서 홀을 위한 1차원 연속방정식은
∂p(n) ∂Jp
----- = (1/q) ----- + (Gp -Rp)
∂t ∂x
여기서 Jp는 홀 전류 밀도이고 Gp와 Rp는 각각 홀의 생성율과 재결합율이다.
전류 밀도에 drift current와 diffusion current을 대입하고 안정화된 상태의 과잉 캐리어 농도를 계산해 보자. x = 0에서 초과 생성이 발생한다고 가정하면 균일하고 무한히 긴 n형 반도체의 연속방정식으로 다음과 같이 주어진다.
∂^2 p(n) p(n) - p(n0)
0 = Dp ------------ - -------------- 여기서, 인가 전압은 0일때 이다.
∂x^2 τ(p)
일반해는
p(n) - p(n0) = Δp(0)e^(-x/(Dp τ(p)^1/2) = Δp(0) e^(x/Lp)
여기서 Lp = (Dp τ(p))^1/2 을 홀의 확산 길이 라고 부르고, Δp(0)을 x=0일 때 초과 캐리어 농도라 부른다. (여기서 Dp는 홀의 duffusion 계수이다)
비슷하게, Ln = (Dn τ(n))^1/2을 전자의 확산 길이 라고 부른다.
확산 거리는 소수 캐리어가 재결합 없이 확산할 수 있는 평균 거리이다.
3.4. 광도전(photoconductive) 효과
반도체에 빛을 조사하여 전자-홀 쌍이 생성되며 반도체의 전도도는 증가한다. 이 현상을 광도전 효과라고 부른다. 실제 p-n접합 태양전지에서는 광에 의해 생성된 전자와 홀은 내부 전기장에 의해 분리된다.
반도체의 광도전을 측정하기 위해 양쪽 끝에 옴 접촉이 되어 있는 반도체 판을 고려하자. 반도체 판에 빛을 균일하게 비추면 정상상태의 전도도는
σ(ph) = q μ(n) ( n + Δn) + q μ(p) ( p + Δp ) = σ+ Δσ
여기서 Δn과 Δp는 각각 초과 전자 농도와 초과 홀 농도이다. 생성율과 재결합율이 같기 때문에 전자와 홀의 연속 방정식은 다음과 같이 표현된다.
∂ n ∆n
----- = G - ------
∂t τ(n)
∂ p ∆p
----- = G - ------
∂t τ(p)
따라서 ∆σ= q G ( μ(n) τ(n) + μ(p) τ(p) )
광전도 이득은 다음과 같이 주어진다.
τ(n) τ(p)
g = ----- + -------
t(n) t(p)
t(n)과 t(p)는 두 옴 접촉사이에서 각각 전자와 홀의 transit time이다.
∆σ/σ는 얼마나 효과적으로 광에 의해 생성된 전자-홀 쌍이 외부 회로에 수집될 수 있느냐를 보여 주는 값이다.
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