반도체의 기본 특성

1. 에너지 밴드와 캐리어 농도

고립된 원자의 전자는 불연속 에너지 준위(discrete energy levels)를 갖는다. 원자가 결정을 형성하기 위해 원자끼리 인접하게 되면 원자간 상호작용에 의해 에너지 준위는 여러개로 쪼개지면서 빽빽한 공간 준위(spaced levels)를 만들어 낸다. 이것이 연속적인 에너지 밴드를 만든다. 두 밴드 사이에서 낮은 쪽을 가전자 대역(valence band), 높은쪽을 전도 대역(conduction band)라 부르고 두 대역 사이의 에너지 갭을 밴드갭(band gap), Eg라 한다.

절대 온도 0K에서 valence band내의 모든 에너지 준위는 전자로 채워져 있고 conduction band의 모든 에너지 준위는 비워져있다.

일부 결합은 상온에서 열적 진동에 의해 캐지는데 그 이유는 밴드갭이 0.5~3 eV 범위에 있기 때문이다. 이것은 conduction band에 전자를, valence band에 홀을 생성시킨다.

Ec와 Ev는 각각 conduction band의 바닥과 valence band의 맨 위를 나타낸다. 전자의 운동에너지는 Ec 위쪽에서 측정되고 홀의 운동에너지는 Ev 아래쪽에서 측정된다.  

Conduction band의 전자와 valance band의 홀은 전류 흐름에 기여한다. 절연체는 밴드갭이 5 eV이상으로 매우 크기 때문에 상온에서도 conduction band는 비워져있다. 전도체는 conduction band가 부분적으로 전자로 채워져 있거나 valence band와 겹쳐져 있어 결과적으로 밴드갭이 없고 비저항이 매우 낮다.

1-1. 진성 반도체(Intrinsic semiconductor)

불순물에 의해 생성된 전자와 홀이 열적으로 생성된 전자와 홀보다 적으면 진성 반도체라 부른다. 

단위 체적당 conduction band에서의 전자 수와 단위 체적당 valence band에서의 홀의 수를 각각 n과 p로 표기한다.  n과 p는 상태 밀도와 분포함수(distribution function)로 부터 유도될 수 있다. 

conduction band에서의 전자 농도, n은

n =  ∫ (0->Etop) (상태 밀도) × (전자 상태가 점유될 확률) dE

여기서, E=0은 conduction band의 바닥 에너지를, Etop은 conduction band의 위쪽 에너지를 뜻한다. 

상태밀도가 4𝛑(2m/h^2)^3/2 E^(1/2)와 같고 에너지 준위가 점유될 확률이 Fermi-dirac 분포함수( (1+exp((E-Ef)/kT))^-1로 주어진다고 가정하면 

              2πmkT                          Ec - Ef 

n = 2 ( ----------- )^3/2  exp ( -  ---------- )

                h^2                               kT

                        Ec - Ef

 = Nc exp ( - --------    )

                          kT

여기서 Ef는 페르미 준위, k는 볼츠만 상수, T는 절대 온도, m은 전자의 유효 질량, h는 Planck 상수, Nc는 conduction band에서의 유효 전자 상태 밀도다. Ef가 Ec에 가깝게 위쪽으로 이동할 수록 n은 증가한다.

Valence band에서의 홀의 농도, p는

                         Ef - Ev                        

p = Nv exp ( -  --------   ), 여기서 Nv는 valence band에서의 유효 홀 상태 밀도이다. 

                           kT

Ef가 Ec에 가깝게 위쪽으로 이동할수록 n은 증가하고, Ef가 Ev에 가깝게 아래쪽으로 이동할수록 p는 증가한다.

이상적인 진성 반도체의 경우,  적당한 온도에서 conduction band에서의 전자 수와 valence band에서의 홀의 수는 같고 다음의 식을 만족한다. 

n = p = ni  (ni는 진성 캐리어 농도다)

n과 p를 곱하면 다음 식을 얻는다. 

n×p = NvNc exp [(Ev-Ec)/kT] = NvNc exp(-Eg/kT) = ni^2

ni는 band gap이 증가할 수록 감소하고 온도가 증가 할 수록 커진다. 

페르미 준위는 

Ef = (Ec + Ev)/2 + (kT/2)ln(Nv/Nc)

진성 반도체는 두번째 항이 첫번째 항에 비해 매우 작은 값을 갖기 때문에 페르미 준위는 band gap의 거의 중간 부분에 위치한다. 

참고: nanostructured materials for solar energy conversion, Tetsuo Soga